อาร์ท สรั่งบุญ: การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง

โดยปกติแล้วคำ "การแปลงฟูรีเย" จะใช้หมายถึง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชัน f (t) ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด (หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อน F (ω) ;

$f(t) = \mathcal{F}^{-1} (F) (t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F (\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง (Inverse Fourier transform) ส่วนการแปลงฟูรีเยนั้นปกติจะเขียน F (ω) ในรูปของ f (t) คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียก คู่ของการแปลง (transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ภาคขยายของการแปลงนี้คือ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใดๆ
เมื่อ f (t) เป็น ฟังก์ชันคู่ (ฟังก์ชันคี่) เทอม ไซน์ (โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่ การแปลงโคไซน์ และ การแปลงไซน์ ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อ f (t) เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้ F (−ω) = F (ω) ^*

อนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คือ อนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด) f (x) (มีคาบ 2π) ด้วย อนุกรม ของฟังก์ชันรูปคลื่น:

$f (x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$

ซึ่ง $F_n$ เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูรีเยยังอาจเขียนในรูป:

$f (x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos (nx) +b_n\sin (nx) \right],$

โดย a_n และ b_n เป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง

สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่อง $x[n]$ บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้ การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง (discrete Fourier transform-DFT) ซึ่งเขียนแทน $x[n]$ ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ

$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{2\pi ink/N} \quad \quad n = 0,\dots,N-1$

โดยที่ $X[k]$ คือ ค่าขนาดบนโดเมนการแปลง การคำนวณจากสมการข้างต้นจะใช้ความซับซ้อนในการคำนวณ O (N²) ซึ่งสามารถลดลงเหลือเพียง O (N log N) โดยการใช้ขั้นตอนวิธี การแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว (fast Fourier transform-FFT)

รูปแบบอื่นๆ

DFT เป็นกรณีที่เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนทั้งสองโดเมน ซึ่งบางครั้งใช้ในการประมาณค่าของ การแปลงฟูรีเยเวลาไม่ต่อเนื่อง (discrete-time Fourier transform-DTFT) ซึ่ง $x[n]$ เป็นค่าไม่ต่อเนื่องบนโดเมนที่ไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีสเปกตรัมเป็นค่าต่อเนื่อง และเป็นคาบ DTFTเป็นความสัมพันธ์ตรงข้ามกับ อนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเย สามารถขยายความการแปลงบน อาบีเลียน โทโพโลยีกรุ๊ปใดๆ ที่คอมแพคเฉพาะที่ (locally compact abelian topological group) เป็นการแปลงจากกรุ๊ปหนึ่งไปยังกรุ๊ปคู่ของมัน ซึ่งเป็นหัวข้อใน การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก (harmonic analysis) ภายใต้การขยายความนี้ทำให้สามารถ สร้างความสัมพันธ์ทั่วไปของ ทฤษฎีการคอนโวลูชัน (en:convolution theorem) ซึ่งเป็นทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่าง การแปลงฟูรีเย และ การคอนโวลูชัน ดู ความเป็นคู่ของพอนเทรียกิน (en:Pontryagin duality) สำหรับพื้นฐานภาคขยายความของการแปลงฟูรีเย
นอกจากนั้นแล้ว ยังมีภาคขยายเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลความถี่ ณ.จุดเวลาใดๆ คือ การแปลง เวลา-ความถี่ (Time-frequency transform) เช่น การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น (short-time Fourier transform) การแปลงเวฟเลท (wavelet transform) การแปลงเชิพเลท (chirplet transform) และ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) เป็นการแปลงซึ่งมีจุดมุ่งหมายในการคำนวณ ข้อมูลความถี่ ของสัญญาณ ในรูปฟังก์ชันของเวลา ความสามารถในการคำนวณหาข้อมูลบนทั้งโดเมนเวลา และ ความถี่พร้อมๆ กันนั้นจะถูกจำกัดโดย กฎความไม่แน่นอน (uncertainty principle)

การแปลงในตระกูลการแปลงฟูเรีย

ตารางด้านล่างสรุปการแปลงทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกับการแปลงฟูรีเย จะสังเกตเห็นว่าความต่อเนื่องหรือความไม่ต่อเนื่องในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความเป็นคาบหรือความไม่เป็นคาบในอีกโดเมนหนึ่ง นอกจากนั้นแล้วการมีค่าเป็นจำนวนจริงในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความสมมาตรในอีกโดเมน

การแปลง	เวลา	ความถี่
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง	ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ	ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ
อนุกรมฟูรีเย	ต่อเนื่อง, เป็นคาบ	ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ
การแปลงฟูรีเยเวลาไม่ต่อเนื่อง	ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ	ต่อเนื่อง, เป็นคาบ
การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง	ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ	ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ

วันอังคารที่ 24 กันยายน พ.ศ. 2556

การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง

อนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง

รูปแบบอื่นๆ

การแปลงในตระกูลการแปลงฟูเรีย

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น